Questões de Estatística da FGV

Um analista da CGU gostaria de estimar a quantidade média de processos administrativos contra um certo ente federativo com 95% de confiança. Assuma que o desvio padrão é conhecido e é igual a cinco processos. A margem de erro aceita é 0,25.
O menor tamanho amostral que o analista deve usar é: 

Um modelo muito utilizado para explicar o retorno de um ativo é o CAPM (Capital Asset Pricing Model). Esse modelo afirma que o excesso de retorno do ativo em relação ao ativo livre de risco é proporcional, em média, ao excesso de retorno do mercado, novamente em relação ao ativo livre de risco. Se denotarmos o retorno do ativo na data t_i por R_i, o retorno do mercado na data t_i por M_i e o retorno do ativo livre de risco por R_f (assumido constante no tempo), então o CAPM pode ser escrito como 


onde os resíduos ?i são assumidos independentes e identicamente distribuídos com média 0 e variância ?² . Observamos retornos conforme a tabela a seguir. 



Note que as médias amostrais de R e M são , e as variâncias amostrais de R e M são ambas 0,025.
Assumindo-se o modelo CAPM e R_f = 5%, se a média do excesso de retorno para o mercado é 10%, a estimativa da média do excesso de retorno para o ativo é de:

Denote o preço de um determinado ativo no instante t_i por p_i , para i=1,...,n, e assuma que a sua dinâmica pode ser escrita da seguinte forma p_i = p_i-1 exp(? + ?i), onde ? é um parâmetro desconhecido e (?_i) é uma sequência independente e identicamente distribuída da normal com média 0 e variância 1. A média amostral de p₁,p₂,...,p_n é denotada por
Suponha que queiramos testar se ?=0 contra a alternativa ??0.
O teste adequado e o valor da sua estatística de teste são: 

Suponha que o preço de um determinado ativo no tempo t é dado pela seguinte fórmula p_t = p₀ exp(? t + ? ?t Z) , onde exp é a função exponencial, ? e ? são constantes e Z tem a distribuição normal padrão (com média 0 e variância 1).
Para valores p₀=100, ?=0,1, ?=0,5, e denotando a função de distribuição acumulada da normal padrão por , a probabilidade de p_t > 50 para t=1 corresponde a:

Uma amostra aleatória de tamanho 144 de uma população descrita por uma variável aleatória suposta normalmente distribuída com média ? e variância ?² apresentou os seguintes dados: 


Assim, se queremos testar H₀: ? ? 50 versus H₁: ? > 50, o critério de decisão com base na estatística de teste t usual, ao nível de significância de 5%, e a respectiva decisão serão: