Questões de Estatística da FCC

Acredita-se que em uma cidade mais da metade de seus eleitores são favoráveis à eleição de um candidato X. Para testar se isso é verdadeiro, extrai-se uma amostra aleatória de 4 eleitores, com reposição, estabelecendo que se nessa amostra mais que 2 eleitores forem favoráveis a X, então procede que mais da metade são favoráveis a X. Se p é a proporção de eleitores favoráveis a X e estabelecendo as hipóteses H₀: p = 0,5 (hipótese nula) e H₁: p > 0,5 (hipótese alternativa), então o nível de significância do teste é igual a

Um fabricante de um equipamento admite que o tempo de funcionamento (T) desse equipamento, em horas, sem apresentar falhas obedece a uma lei exponencial com função densidade dada por f(t) = ?e^-?t , se t > 0 e que f(t) = 0, caso contrário. Utilizando o método da máxima verossimilhança, ele obteve a estimativa pontual do parâmetro ? com base nas informações obtidas do tem-po de funcionamento de 500 equipamentos selecionados aleatoriamente de sua produção. O quadro abaixo fornece os resulta-dos obtidos. 
t_i    1       2      3        4        5       Total n_i   50    50    200    150     50      500

Obs.: n_i é o número de equipamentos que apresentaram falhas em t_i horas.

A estimativa pontual do parâmetro ? obtida pelo fabricante foi, então, de

Dois estimadores E₁ e E₂, não viesados, são utilizados para estimar a média ? de uma população normalmente distribuída apresentando uma variância unitária. Sejam E₁ = mX + (m + n)Y ? Z e E₂ = mX + (m ? n)Y ? nZ os dois estimadores em que m e n são parâmetros reais e (X, Y, Z) uma amostra aleatória de tamanho 3 extraída da população, com reposição. A variância (V) do estimador mais eficiente, entre E₁ e E₂, é tal que

 A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por f(x) = kx para x pertencente ao intervalo (0, 4) e f(x) = 0, caso contrário. Sabendo-se que k é uma constante real não nula e que U é uma outra variável aleatória tal que U = 2X + 4, tem-se que a probabilidade P(U > 8) é igual a

De uma população normalmente distribuída e variância populacional igual a 225 extraiu-se uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 144. A média amostral apresentou um valor igual a x . Deseja-se testar a hipótese, com base nos dados da amostra, que a média ? da população difere de 150 ao nível de significância de 10%. Considerando as hipóteses H₀: ? = 150 (hipótese nula) e H₁: ? ? 150 (hipótese alternativa), tem-se que o maior valor para x tal que na decisão não se cometa um erro do tipo I é