Questões sobre Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes

Sejam U e V dois espaços vetoriais sobre o corpo dos reais e T : U ? V uma transformação linear. Considere as seguintes afirmativas:

I - Se u ? U é tal que T(u) = 0, então u = 0.
II - Se n ? 1 é um inteiro e u₁, u₂, . . . , u_n são vetores em U tais que o conjunto de vetores {T(u₁), T(u₂), . . . , T(u_n)} é linearmente independente, então o conjunto de vetores {u1, u2, . . . , un} é linearmente independente.
III - Se W é um subconjunto de U então o conjunto
T (W) = {T(w) | w ? W}
é um subespaço vetorial de V .
IV - Se U e V forem espaços vetoriais de dimensão finita e T for um isomorfismo, então U e V têm a mesma dimensão.


Sobre essas afirmações podemos dizer que estão corretos: 

Julgue o seguinte item, a respeito de determinantes e sistemas lineares. 

Considere-se v ? ?ⁿ, A ? ?^n×n e a matriz M ? ?^n×n cujas entradas sejam dadas da seguinte forma: m_ij   =a_ij , para todo i ? {1,2,3, … n, } e j ? {1,3,4, …n} , e m_i2 = a_i2 + v_i ,  i ? {1,2,3 ..., n}. Nesse caso, é correto concluir que det(M) = det(A) + |v|, em que |v| =  .

Julgue o seguinte item, a respeito de determinantes e sistemas lineares. 

Para que a matriz

não seja singular, é necessário que a ? ± ?13/2 - 1/2.

Julgue o seguinte item, a respeito de determinantes e sistemas lineares. 

Considerando-se uma matriz A ? ?^{m x n}, um vetor x ? ?ⁿ e b ? ?^m, se m < n , então o sistema linear Ax = b nunca terá solução.  

Uma superfície é obtida pela rotação da curva quando gira em torno do eixo    A equação dessa superfície é igual a: