Questões de Matemática da IF-MG

Se y_p(x), uma função polinomial, é uma solução particular da equação d²y / dx² ? dy / dx?2y = 4x² , então pode ser observado que: 

Para n ? R, a equação diferencial ordinária

dy / dt + g(t)y = h(t)yⁿ ,

é conhecida como equação de Bernoulli, em homenagem ao celebre matemático suíço Jacob Bernoulli (1654-1705). Dentre outras aplicações, a equação de Bernoulli pode ser utilizada como modelo matemático para o estudo do crescimento de peixes, através da equação

 dp / dt = ?p^2/3 ? ?p,

também conhecida como equação de von Bertalanffy, em homenagem ao biólogo austríaco Ludwig von Bertalanffy (1901-1972). Na equação de von Bertalanffy, a função incógnita p(t) representa o peso do peixe no instante de tempo t e as constantes ? > 0 e ? > 0, respectivamente, as taxas de ganho de massa (anabolismo) e perda de massa (catabolismo) do peixe. Nessas condições, após resolver a equação de von Bertalanffy e observar a sua solução, pode-se verificar que: 

Seja T : R² ? R uma transformação linear tal que

T(2, 2) = 3 e T(3, 2) = 1.

O valor de T(1, 0) é:

O volume da região E = { (x, y, z) ? R³ /z² ? x² + y² ? 2x }   é: