Questões de Matemática da IV -

A representação geométrica do número complexo z = (1 + √3 i)²,  em que i é a unidade imaginaria, é igual a

Dados os números inteiros a = 2³ × 3² × 5⁴ e b = 2 × 3³ × 5². O quociente entre o Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre a e b,  é

O processo de relacionar aritmética, álgebra e geometria, iniciado por al-Khwārizmī e Abū Kāmil, continuou no mundo islâmico com o trabalho de Abū Bakr al-Karajī (falecido em 1019), que usou tal processo para provar que o resultado da soma de cubos, até 10, é igual ao quadrado da soma de 1 a 10, como mostra a expressão:
1³ + 2³ + 3³ + . . . + 10³ = (1 + 2 + 3 + . . . + 10)²
Para fazer a prova, ele usou um quadrado ABCD, como na figura, com medida do lado igual à soma: (1 + 2 + 3 + . . . + 10). Dentro dele, configurou os quadrados menores: o primeiro (AB₁C₁D₁), com lado igual a 1, o segundo (AB₂C₂D₂), com lado igual a (1+2), e assim por diante, até o quadrado AB₉C₉D₉. Assim, para calcular a área de ABCD, ele completou o quadrado AB₉C₉D₉ com a área do gnômon*, o polígono B₉C₉D₉DCB, destacado na figura. Desse modo, em um processo muito parecido com a indução matemática, ele provou a expressão anterior.


*gnômon: uma figura que, quando adicionada a um quadrado ou retângulo, forma um quadrado maior.
KATZ, Victor J. A history of mathematics: An introduction. 3.ed. Person Education: Chicago, 1998. [Adaptado]. 

Com base nessas informações, considere um processo similar ao realizado por Al-Karajī, porém, a partir de um quadrado com lado medindo: 1 + 2 + 3 + . . . +(n − 1) + n, com n ∈ N, n > 1. Nesse caso, a expressão que representa a área do gnômon é dada por

Considere o seguinte sistema de equações lineares.

 Com relação ao conjunto solução, temos que

Com relação aos números a = 2³ × 3¹¹ × 11, b = 2⁵ × 5¹³ × 13, temos que