Leis de Morgan – Tudo que você precisa saber para o seu concurso

Série Dicas

Quem dá nome às Leis de Morgan é Augustus de Morgan, matemático e lógico indiano, nascido em 27 de junho de 1806, em Madurai, na Índia.

Seus pais eram ingleses, e a ocasião do seu nascimento na Índia se deu por conta da profissão do pai, militar em missão naquele país.

Ingressou em 1923 na Universidade de Cambridge, entretanto, não pode continuar seus estudos, porque não aceitou submeter-se ao exame religioso.

Em 1827, pleiteou a cadeira de Matemática da recém fundada Universidade de Londres, mesmo sem ter nenhuma publicação matemática. Em 1828, foi nomeado o primeiro professor de Matemática da Universidade.

Introduziu as Leis de Morgan e sua contribuição mais significativa foi Formal Logic (Lógica Formal) , obra na qual definiu uma reformulação da Lógica Matemática.

Morgan

Augustus de Morgan

Conceitos Fundamentais do Raciocínio Lógico

Antes de explicar o que são as Leis de Morgan, vale rever conceitos básicos do raciocínio lógico:

Proposição

É uma sentença declarativa, seja ela expressa de forma afirmativa ou negativa, na qual atribui-se um valor lógico “V” (verdadeiro) ou “F”(falso).

Exemplo:

  • João foi ao futebol.

Negação

É a mudança do valor lógico de uma proposição. A negação de uma proposição verdadeira é falsa. A negação de uma proposição falsa é verdadeira. O símbolo da negação é o til (~).

Exemplo:

  • Proposição: João foi ao futebol (V)
  • Negação: João não foi ao futebol (F)

Conjunção

Proposições compostas em que está presente o conectivo “e”. O símbolo da conjunção é semelhante à letra “v” invertida (∧).

Exemplo:

  • João foi ao futebol e Ana foi ao cinema.
  • p^q

Disjunção

É uma proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo “ou”. O símbolo da disjunção é semelhante à letra “v” (∨). leis de morgan

Exemplo:

  • João foi ao futebol ou Ana foi ao cinema.
  • p∨q

Tabela Verdade

Tabela verdade é um dispositivo utilizado no estudo da lógica matemática. Com ela é possível definir o valor lógico de uma proposição, ou seja, saber quando uma sentença é verdadeira ou falsa.

A tabela verdade é usada em proposições compostas, ou seja, sentenças formadas por proposições simples, sendo que o resultado do valor lógico depende apenas do valor de cada proposição.

Para combinar proposições simples e formar proposições compostas são utilizados conectivos lógicos. Estes conectivos representam operações lógicas.

conectivos lógicos

A tabela verdade, por sua vez, é construída da seguinte maneira:

Tabela Verdade

Primeira Lei de Morgan

A primeira lei diz que negar duas proposições ligadas com “e” – ou seja, uma conjunção – é o mesmo que negar duas proposições e ligá-las com “ou”, ou seja, transformá-las em uma disjunção. leis de morgan

Considere que “p” e “q” são duas proposições. Simbolicamente a primeira lei pode ser  representada por:

~ (p ∧ q) = (~ p) ∨ (~ q)

Em outras palavras:

Não (p e q) é igual a (não p) ou (não q).

Exemplos:

Sendo “p” igual a “João vai ao futebol”.

Sendo “q” igual a “Ana vai ao cinema”.

A primeira Lei de Morgan aplicada às proposições ficará:

Não (João vai ao futebol e Ana vai ao cinema) é o mesmo que (João não vai ao futebol ou Ana não vai ao cinema).

Resumindo: negar que “João vai ao futebol e Ana vai ao cinema” é o mesmo que afirmar que “Ou João não vai ao futebol ou Ana não vai ao cinema”.

Segunda Lei de Morgan

A segunda lei diz que negar duas proposições ligadas por “ou” é o mesmo que negar as duas proposições e juntá-las com “e”.

A representação simbólica é a seguinte:

~ (p ∨ q) = (~ p) ∧ (~ q)

Em outras palavras:

Não (p ou q) é igual a (não p) e (não q).

Exemplos:

Não (João vai ao futebol ou Ana vai ao cinema) é o mesmo que (João não vai ao futebol e Ana não vai ao cinema).

Ou seja,  negar que “João vai ao futebol ou Ana vai ao cinema” é igual a afirmar que “João não vai ao futebol e Ana não vai ao cinema”. leis de morgan

Exemplos de questões usando as Leis de Morgan

1- (CESPE 2018/Polícia Federal/Escrivão)

Julgue os próximos itens, considerando a proposição P a seguir.
P: “O bom jornalista não faz reportagens em benefício próprio nem deixa de fazer aquela que prejudique seus interesses”.
A negação da proposição P está corretamente expressa por: “O bom jornalista faz reportagens em benefício próprio e deixa de fazer aquela que não prejudique seus interesses”.

Resolução

A proposição P é equivalente a “O bom jornalista não faz reportagens em benefício próprio e não deixa de fazer aquela que prejudique seus interesses”.

O item está errado, pois além de negar os dois componentes, também deve trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”.

A  negação correta é “O bom jornalista faz reportagens em benefício próprio ou deixa de fazer aquela que não prejudique seus interesses”.

 

2- (CESPE 2013/INPI)
A negação da proposição “o eleitor é induzido a apoiar níveis muito elevados de gasto público ou o nível de gasto público não reflete a preferência do eleitor” é logicamente equivalente a “o eleitor não é induzido a apoiar níveis muito elevados de gasto público e o nível de gasto público reflete a  preferência do eleitor.”

Resolução

Certo. Para negar uma proposição composta pelo “ou”, deve-se negar os dois componentes e trocar o conectivo por “e”. A negação correta é: “o eleitor não é induzido a apoiar níveis muito elevados de gasto público e o nível de gasto público reflete a preferência do eleitor.”

3. (CESPE 2014/Câmara dos Deputados)
A negação da proposição “Eu voto no candidato X, ele não é eleito e ele não me dá um agrado antes da eleição” está corretamente expressa por “Eu não voto no candidato X, ele é eleito e ele me dá um agrado antes da eleição”.

Resolução

Errado. Para negar proposições compostas pelo conectivo “e”, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por “ou”. Ficaria então: Eu não voto no candidato X OU ele é eleito OU ele me dá um agrado antes da eleição.

 

Agora que você já sabe tudo sobre as Leis de Morgan, faça questões gratuitas aqui!

 

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