O número de reclamações trabalhistas diárias (X) registradas em um determinado ramo de atividade obedece a uma distribuição de Poisson com uma média de ? reclamações por dia. Dado que P(X = x) é a probabilidade de ocorrerem x reclamações em um dia e que P(X = 2) = 2[P(X = 1) – P(X = 0)], então P(X 1) é igual a

Considere a função geradora de momentos Mx(t) = (1 ? 2t)?3, com t < 0,5, correspondente a uma variável aleatória X com uma distribuição gama. A variância relativa de X, definida como a divisão da variância de X pelo quadrado da média de X, é igual a

Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória de uma variável X e as estatísticas de ordem denotadas por X(1), X(2), ... , X(n), em que X(1) = min(X1, X2, ..., Xn) corresponde ao menor valor observado na amostra. Sabe-se que X possui uma função densidade dada por f(x) = 1/2, se 0 < x < 2 e que f(x) = 0, caso contrário. A função de distribuição acumulada de X(1), ou seja F(X(1))(x) para 0 < x < 2, é dada por

As variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes, sendo que:
I. X possui uma distribuição normal com média igual a 2 e desvio padrão igual a 2. II. Y possui uma distribuição uniformemente distribuída no intervalo (2, 4).
A esperança de (X + Y), a variância de (X + Y) e a esperança de (XY) são iguais, respectivamente, a

Atenção: Para responder à questão, considere a tabela abaixo que fornece algumas probabilidades P(Z > z) da curva normal padrão (Z).
z                 0,67           0,95          1,00         1,28          1,48         1,64          2,00 P(Z > z)      0,25           0,17           0,16         0,10          0,07        0,05          0,02


Uma grande população normalmente distribuída com média ? e variância ?2 é formada pelos comprimentos de um determinado tipo de cabo em centímetros (cm). A proporção de cabos com comprimento de no máximo 13,3 cm é igual a 75% e a proporção de cabos com comprimento de, no mínimo, 10,10 cm é igual a 83%. Escolhendo aleatoriamente um cabo da população, a probabilidade de a medida desse cabo apresentar um valor superior a um valor X, ... Ver mais

Um intervalo de confiança de 90% para média µ de uma população normalmente distribuída foi construído por meio de uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 100 extraída da população. O intervalo obtido foi igual a [19,18; 20,82] uma vez que é conhecida a variância ?2 da população. Decidindo obter um outro intervalo com um nível de confiança de 96% por meio de uma amostra aleatória, com reposição, independente da primeira e de tamanho 64, encontrou-se, nesse caso, uma média igual a 20,50. O limite superior desse segundo intervalo é igual a

De uma população normalmente distribuída e variância populacional igual a 225 extraiu-se uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 144. A média amostral apresentou um valor igual a x . Deseja-se testar a hipótese, com base nos dados da amostra, que a média ? da população difere de 150 ao nível de significância de 10%. Considerando as hipóteses H0: ? = 150 (hipótese nula) e H1: ? ? 150 (hipótese alternativa), tem-se que o maior valor para x tal que na decisão não se cometa um erro do tipo I é 

 A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por f(x) = kx para x pertencente ao intervalo (0, 4) e f(x) = 0, caso contrário. Sabendo-se que k é uma constante real não nula e que U é uma outra variável aleatória tal que U = 2X + 4, tem-se que a probabilidade P(U > 8) é igual a

Dois estimadores E1 e E2, não viesados, são utilizados para estimar a média ? de uma população normalmente distribuída apresentando uma variância unitária. Sejam E1 = mX + (m + n)Y ? Z e E2 = mX + (m ? n)Y ? nZ os dois estimadores em que m e n são parâmetros reais e (X, Y, Z) uma amostra aleatória de tamanho 3 extraída da população, com reposição. A variância (V) do estimador mais eficiente, entre E1 e E2, é tal que

Um fabricante de um equipamento admite que o tempo de funcionamento (T) desse equipamento, em horas, sem apresentar falhas obedece a uma lei exponencial com função densidade dada por f(t) = ?e-?t , se t > 0 e que f(t) = 0, caso contrário. Utilizando o método da máxima verossimilhança, ele obteve a estimativa pontual do parâmetro ? com base nas informações obtidas do tem-po de funcionamento de 500 equipamentos selecionados aleatoriamente de sua produção. O quadro abaixo fornece os resulta-dos obtidos. 
ti    1       2      3        4        5       Total ni   50    50    200    150     50      500

Obs.: ni é o número de equipamentos que apresentaram falhas em ti horas.

A estimativa pontual do parâmetro ? obtida pelo fabricante foi, então, de